漫步微积分3.6 - 高阶导数

$y=x^4$ 的导数是 $y’=4x^3$ 。但是 $4x^3$ 依然可导， $12x^2$ 。用 $y’’$ 表示，叫做原函数的二阶导。对二阶导 $y’’=12x^2$ 求导得到三阶导 $y’’’=24x$ ，一直这样做知道没有定义为止。对于高阶导，有些符号是共用的，我们都应该熟悉他们。对函数 $u=f(x)$ 逐次求导得

\begin{array}{ccccc} 一 阶 导 数 & f^{'} (x) & y^{'} & \frac{d y}{d x} & \frac{d}{d x} f (x) \\ 二 阶 导 数 & f^{″} (x) & y^{″} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & \frac{d^{2}}{d x^{2}} f (x) \\ 三 阶 导 数 & f^{‴} (x) & y^{‴} & \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & \frac{d^{3}}{d x^{3}} f (x) \\ n 阶 导 数 & f^{n} (x) & y^{(n)} & \frac{d^{n} y}{d x^{n}} & \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x) \end{array}

$\begin{equation} \begin{array}{ccccc} 一阶导数 &f'(x)&y'&\frac{dy}{dx}&\frac{d}{dx}f(x)\\ 二阶导数&f''(x)&y''&\frac{d^2y}{dx^2}&\frac{d^2}{dx^2}f(x)\\ \ 三阶导数&f'''(x)&y'''&\frac{d^3y}{dx^3}&\frac{d^3}{dx^3}f(x)\\ n阶导数&f^{n}(x)&y^{(n)}&\frac{d^ny}{dx^n}&\frac{d^n}{dx^n}f(x) \end{array}\notag \end{equation}$

这些符号按阶数给出。用符号 $’$ 表示比较麻烦，所以在三阶导以上不经常用。有时候，将原函数看作零阶导数会非常方便，写作 $f(x)=f^{(0)}(x)$ 。第三列的上标位置看着很奇怪，我们这样理解，它是一阶导数的二次求导

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$

等式的左边，上标 $2$ 在 $d$ 和 $dx$ 的上部，和右边的符号相一致。

更高阶的导数有什么用呢？之后我们会看到，在几何上， $f’’(x)$ 的符号决定了曲线 $y=f(x)$ 是凸的还是凹的。另外二阶导数的定性分析还会提炼成定量的计算公式。

物理学中，二阶导非常重要。如果 $f=f(t)$ 给出了时刻 $t$ 运动目标的位置，那么我们就知道位置函数的一阶和二阶导

v = \frac{d s}{d t} a = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} s}{d t^{2}}

$v=\frac{ds}{dt}\qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$

分别是时间 $t$ 对应的速度和加速度。加速的的中心地位来源于牛顿第二定律，即运动物体的加速度与施加于它的力成正比。牛顿力学的基本问题是利用微积分来推导运动的性质。之后我们会接触到相关问题。

高阶导不像二阶导，它没有这样基本的几何或物理解释。然而，我们会看到，这些导数也是有用的，它将函数扩展成无穷级数。

所有的应用在后面的文章中都会进行详细的讨论。同时，我们目前需要熟练计算方法。

例1：很容易求出函数 $y=x^5$ 的所有导数：

\begin{aligned} y^{'} & = 5 x^{4}, y^{'} = 20 x^{3}, y^{‴} = 60 x^{2} \\ y^{(4)} & = 120 x, y^{(5)} = 120, y^{(n)} = 0 n > 5 \end{aligned}

$\begin{align} y'&=5x^4,\quad y'=20x^3,\quad y'''=60x^2\notag\\ y^{(4)}&=120x,\quad y^{(5)}=120,\quad y^{(n)}=0\quad n>5\notag \end{align}$

下面的符号将经常用到。对于任何正数 $n$ ，符号 $n!$ 是从 $1$ 到 $n$ 所有正数的乘积:

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$

因此， $1!=1,2!=1\cdot 2=2,3!=1\cdot 2\cdot 3=6,4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ 等等。如果我们重复对 $y=x^n$ 求导，那么

\begin{array}{rcl} y^{'} & = & n x^{n - 1} \\ y^{″} & = & n (n - 1) x^{n - 2} \\ y^{‴} & = & n (n - 1) (n - 2) x^{n - 3} \\ y^{(n)} & = & n (n - 1) (n - 2) \dots 2 \cdot 1 = n! \\ y^{(k)} & = & 0 k > n . \end{array}

$\begin{eqnarray*} y'&=&nx^{n-1}\\ y''&=&n(n-1)x^{n-2}\\ y'''&=&n(n-1)(n-2)x^{n-3}\\ y^{(n)}&=&n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\\ y^{(k)}&=&0\quad k>n. \end{eqnarray*}$

例2：为了找到 $y=1/x=x^{-1}$ $n$ 阶导数的通式，我们从一阶导开始计算直到观察出模式来：

\begin{array}{rcl} y^{'} & = & - x^{- 2} \\ y^{″} & = & 2 x^{- 3} \\ y^{‴} & = & - 2 \cdot 3 x^{- 4} = - 3! x^{- 4} \\ y^{(4)} & = & 2 \cdot 3 \cdot 4 x^{- 5} = 4! x^{- 5} \\ y^{(5)} & = & - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 x^{- 6} = - 5! x^{- 6} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} y'&=&-x^{-2}\\ y''&=&2x^{-3}\\ y'''&=&-2\cdot 3x^{-4}=-3!x^{-4}\\ y^{(4)}&=&2\cdot 3\cdot 4x^{-5}=4!x^{-5}\\ y^{(5)}&=&-2\cdot 3\cdot 4\cdot 5x^{-6}=-5!x^{-6}. \end{eqnarray*}$

观察上面的过程，不考虑符号，那么 $y^{(n)}=n!x^{-(n+1)}$ 。对于符号有种比较方便的形式 $(-1)^n$ ，如果是奇数，那么它等于 $-1$ ，如果是偶数，那么它等于 $1$ 。因此对于所有的正整数 $n$

y^{(n)} = (- 1)^{n} n! x^{- (n + 1)}

$y^{(n)}=(-1)^nn!x^{-(n+1)}$

例3：对一个圆 $x^2+y^2=a^2$ ，利用隐函数求导，可以找到 $y’’$ 的简洁形式。首先对等式两边求导得

\begin{matrix} (1) & 2 x + 2 y y^{'} = 0 o r y^{'} = - \frac{x}{y} . \end{matrix}

$\begin{equation} 2x+2yy'=0\quad or\quad y'=-\frac{x}{y}.\tag1 \end{equation}$

利用除法法则在求导得

y^{″} = - \frac{y - x y^{'}}{y^{2}} .

$y''=-\frac{y-xy'}{y^2}.$

将(1)代入上式得

y^{″} = - \frac{y - x (- x / y)}{y^{2}} = - \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{3}} = - \frac{a^{2}}{y^{3}}

$y''=-\frac{y-x(-x/y)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{a^2}{y^3}$

这对每个人来说都是比较简洁的形式了。

例4：重复求导很容易的证明二项式定理。对于任意正整数 $n$ ，考虑函数

(1 + x)^{n} = (1 + x) (1 + x) \dots (1 + x)

$(1+x)^n=(1+x)(1+x)\cdots (1+x)$

很明显，该函数是 $n$ 次多项式，即

\begin{matrix} (2) & (1 + x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{n} x^{n} \end{matrix}

$\begin{equation} (1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n\tag2 \end{equation}$

我们的问题是找出系数是多少。如果我们令 $x=0$ ，立马得出 $a_0=1$ 。接下来，对(2)式两边重复求导得

\begin{array}{rcl} n (1 + x)^{n - 1} & = & a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + \dots + n a_{n} x^{n - 1} \\ n (n - 1) (1 + x)^{n - 2} & = & 2 a_{2} + 3 \cdot 2 a_{3} x + \dots + n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} \\ n (n - 1) (n - 2) (1 + x)^{n - 3} & = & 3 \cdot 2 a_{3} + \dots + n (n - 1) (n - 2) a_{n} x^{n - 3} \end{array}

$\begin{eqnarray*} n(1+x)^{n-1}&=&a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots +na_nx^{n-1}\\ n(n-1)(1+x)^{n-2}&=&2a_2+3\cdot 2a_3x+\cdots +n(n-1)a_nx^{n-2}\\ n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}&=&3\cdot 2a_3+\cdots +n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3} \end{eqnarray*}$

等等。这些等式对所有 $x$ 都成立，所以我们取 $x=0$ 。从而得出系数值为：

\begin{array}{rcl} a_{1} & = & n, a_{2} = \frac{n (n - 1)}{2}, a_{3} = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{2 \cdot 3}, \dots \\ a_{k} & = & \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots k}, \dots, a_{n} = 1. \end{array}

$\begin{eqnarray*} a_1&=&n,\quad a_2=\frac{n(n-1)}{2},\quad a_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3},\quad \ldots\\ a_k&=&\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k},\quad \ldots ,\quad a_n=1. \end{eqnarray*}$

得到系数后，代入等式(2)得

\begin{aligned} (1 + x)^{n} = & 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{1 \cdot 2} x^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^{3} \\ (3) & + \dots + \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots k} x^{k} + \dots + x^{n} . \end{aligned}

$\begin{align} (1+x)^n=&1+nx+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}x^3 \notag\\ &+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k}x^k+\cdots+x^n.\tag3 \end{align}$

这就是二项式定理。

漫步微积分十三——高阶导数